【量子位 2025年12月16日讯】中国数学界再添里程碑式成果。12月15日，据量子位报道，苏州大学特聘副教授张涵与法国国家科学研究中心（CNRS）研究员Timothée Bénard、中国科学院数学与系统科学研究院副研究员何伟鲲合作的论文《Khintchine dichotomy for self-similar measures》，正式被国际数学顶刊《美国数学杂志》（Journal of the American Mathematical Society，JAMS）录用。这不仅是苏州大学首次在“数学四大刊”（《数学年刊》《数学学报》《数学新进展》《美国数学杂志》）发表成果，更彻底解决了1984年数学家Mahler提出的“康托尔三分集上的丢番图逼近问题”——这一困扰国际数学界近40年的难题，为分形几何、数论与动力系统的交叉研究开辟新路径。
突破核心：辛钦定理首次“跨域”，分形与直线逼近规律一致
要理解这项成果的价值，需先聚焦两个关键数学概念：辛钦定理与自相似测度，前者是丢番图逼近领域的基础定理，后者则是分形几何中的核心度量工具。此次研究的核心突破，正是将辛钦定理从“常规度量”推广到“所有自相似测度”，打破了两者间40年的理论壁垒。
1. 辛钦定理：有理数逼近实数的“黄金法则”
在数论中，辛钦定理是描述“有理数如何逼近实数”的核心准则。我们熟知的π、√2等无理数无法用分数精确表示，但总能找到有理数不断缩小误差——比如用22/7逼近π，误差不足0.0015；用355/113逼近，误差可缩至千万分之三。辛钦定理则从数学层面量化了这种逼近的“效率”与“普遍性”：它通过一个“逼近函数ψ”的求和敛散性（发散或收敛）来判定——若求和发散，说明“易被逼近的实数占比极高”；若收敛，则“易被逼近的实数极其稀有”。
不过，传统辛钦定理有一个关键局限：它仅适用于勒贝格测度，也就是我们日常生活中接触的“长度、面积、体积”等均匀度量。比如在一条线段上，勒贝格测度会均匀分配“长度”，但在分形结构中，这种均匀度量完全失效。
2. 自相似测度：分形世界的“不均匀度量”
分形几何中的“自相似测度”，与勒贝格测度截然不同——它会根据分形的结构，将“测度质量”集中在关键区域。最典型的例子是“中间三分之一康托尔集”：将线段无限次三等分、去掉中间一段后形成的分形，其自相似测度会集中在留存的“小线段”上，且放大任意局部，其测度分布与整体成比例“复刻”。
1984年，数学家Mahler提出核心疑问：分形（如康托尔集）上的无理数，能否像直线上的实数一样被有理数有效逼近？其逼近规律是否仍遵循辛钦定理？这一问题成为丢番图逼近领域的“悬案”——由于自相似测度的“不均匀性”，传统辛钦定理的证明工具完全失效，近40年来，包括菲尔兹奖得主在内的众多学者都未能突破。
3. 三大定理构建桥梁，分形与直线“共用法则”
张涵团队通过构建三大核心定理，最终解决了这一难题：
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定理A（自相似测度辛钦二分法）：首次明确“自相似测度下的辛钦定理形式与勒贝格测度完全一致”——无论测度是否均匀，有理数逼近无理数的规律，仍由逼近函数ψ的求和敛散性决定。这意味着，康托尔集上的无理数逼近，与直线上的实数逼近遵循同一“黄金法则”。
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定理B（扩展变换下的有效等分布）：证明自相似测度在“扩展变换”（如放大、平移）下，会逐渐均匀分布在空间中，且能精准计算“不均匀误差”。简单来说，就是找到了自相似测度“从不均匀到近似均匀”的量化路径。
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定理C（随机游走等分布特性）：通过研究“随机游走”（每次按概率选方向走一步形成的轨迹）的分布规律，为前两大定理提供基础。团队证明，随机游走的轨迹分布能实现“有效等分布”，而自相似测度的规律、扩展变换的均匀性，本质都与这种“均匀化过程”相关——定理C相当于搭建了一座“理论桥梁”，让辛钦定理得以顺利“跨域”到自相似测度。
学术价值：打通三大领域，开启交叉研究新范式
此次成果的意义远超“解决一个旧问题”，它首次打通了齐次动力系统、分形几何、数论三大数学领域的研究路径，为后续交叉学科探索提供了“通用理论框架”。
《美国数学杂志》审稿人评价：“这项工作将不同领域的工具（动力系统的等分布理论、分形几何的切片定理、概率论的随机游走）整合为统一框架，不仅解决了40年悬案，更提出了‘测度均匀化’的新研究思路，可能推动多个分支的理论突破。”
具体来看，其价值体现在两方面：
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理论突破：此前，分形几何与数论的研究相对独立，自相似测度与辛钦定理被视为“互不兼容”。张涵团队的成果证明，两者可通过“动力系统”与“概率论”工具关联，为后续研究提供了“跨领域对话”的基础。
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应用潜力：分形结构广泛存在于物理、材料、计算机科学等领域（如多孔材料的结构、图像压缩的分形算法），此次成果为“分形上的数值逼近”“分形信号处理”等应用提供了理论支撑。例如，在材料科学中，可通过该理论更精准地计算分形结构的“有效物理性质”。
团队背景：中外学者协同，青年学者挑大梁
这项顶尖成果的背后，是一支“中外协同、青年为主”的研究团队，三位作者均在相关领域深耕多年：
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张涵（苏州大学特聘副教授）：博士毕业于俄亥俄州立大学，后在清华大学从事博士后研究，2023年入职苏州大学，研究方向为“齐次动力系统及其在数论中的应用”。此次成果是他入职后不到两年的突破性贡献，也成为苏州大学数学学科的“里程碑”。
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Timothée Bénard（法国CNRS研究员）：任职于巴黎北索邦大学，长期研究“李群上的随机游走”，在概率论、动力系统领域有深厚积累。
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何伟鲲（中科院数学与系统科学研究院副研究员）：2017年博士毕业于巴黎第十一大学，曾在耶路撒冷希伯来大学、韩国高等研究院从事博士后研究，专长于“齐次动力系统与分形几何交叉研究”，此前已在相关领域发表多篇高水平论文。
目前，该论文已在arXiv平台上线（链接：https://arxiv.org/abs/2409.08061），苏州大学数学科学学院也在官网发文祝贺，称其“实现了学校在数学顶刊领域的‘零突破’，标志着学校数学学科研究水平跻身国际前列”。
行业视角：中国数学“青年力量”崛起
“数学四大刊”是国际数学界公认的顶级期刊，每年全球仅发表约200篇论文，中国研究机构入选数量常年不超过10篇。此次苏州大学首次登顶，且核心作者为青年学者，被业内视为“中国数学青年力量崛起”的又一信号。
近年来，中国学者在数论、几何等基础数学领域屡获突破：2020年，牛津大学华人学者James Maynard（与张涵团队研究方向相近）解决了困扰近80年的Duffin-Schaeffer猜想；2024年，中科院学者在“齐次动力系统”领域发表多篇顶刊成果。此次张涵团队的研究，进一步巩固了中国在“丢番图逼近与分形几何交叉领域”的国际领先地位。
正如中科院数学与系统科学研究院相关负责人所言：“基础数学研究需要长期积累，此次成果是中外学者协同创新的典范，也证明中国青年数学家已具备在国际前沿领域‘啃硬骨头’的能力。未来，随着更多跨领域、跨国界的合作，中国数学有望在更多基础问题上实现突破。”
